Question

（文）已知函數f（x）=log₃（ax+b）的圖象經過點A（2，1）和B（5，2），記a_n=3^f（n），n∈N⁺
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2求使不等式(1+

1

a1

) (1+

1

a2

) …(1+

1

an

)≥p

2n+1

對一切n∈N^*均成立的最大實數p．

Answer 1

分析：（1）由題意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由題意得p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)對n∈N^*恒成立，記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…（1+

1

an

），則

F(n+1)

F(n)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1，由此能求出最大實數p．

解答：（文）解：（1）由題意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，
解得

a=2 b=-1

，
∴f（x）=log₃（2x-1），
an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N^*．
（2）由題意得p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)對n∈N^*恒成立，
記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…（1+

1

an

），
則

F(n+1)

F(n)

=

1 2n+3 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )…(1+ 1 an )(1+ 1 an+1 )

1 2n+1 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )…(1+ 1 an )

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1，
∵F（n）＞0，
∴F（n+1）＞F（n），
即F（n）是隨n的增大而增大，
F（n）的最小值為F（1）=

2

3

3

，
∴p≤

2

3

3

，即pmax=

2

3

3

．

點評：本題考查數列的通項公式和求使不等式(1+

1

a1

) (1+

1

a2

) …(1+

1

an

)≥p

2n+1

對一切n∈N^*均成立的最大實數p．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．