Question

把一枚骰子投擲兩次，第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b．
（Ⅰ）記事件A為“方程組

ax+by=5 x2+y2=1

只有一組解”，求事件A的概率；
（Ⅱ）記事件B為“方程組

ax+by=5 x2+y2=1

有解”，求事件B的概率．

Answer 1

分析：（I）將方程組

ax+by=5 x2+y2=1

的解的個數轉化為直線ax+by=5與圓x²+y²=1的交點個數．利用點到直線的距離公式得到方程只有一組解即

a=3 b=4

，或

a=4 b=3

，利用古典概型的概率公式求出概率．
（II）“方程組

ax+by=5 x2+y2=1

有解”即d=

5

a2+b2

≤1?a2+b2≥25，列出包含的所有基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答：解：（Ⅰ）依題意知，方程組

ax+by=5 x2+y2=1

的解的個數，
就是直線ax+by=5與圓x²+y²=1的交點個數．
設圓心O（0，0）到直線ax+by=5的距離是d，則d=

5

a2+b2

，
∵圓的半徑是1，
∴當d=1，即a²+b²=25時，直線與圓相切，此時方程組只有一組解．
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴

a=3 b=4

，或

a=4 b=3

時，a²+b²=25，
而投擲兩次骰子，a，b所有的情況有36種，
所以方程組只有一組解的概率是P(A)=

2

36

=

1

18

．
（Ⅱ）要使方程組有解，由（Ⅰ）得，d=

5

a2+b2

≤1?a2+b2≥25，
所以a，b有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），
（6，4），（6，5），（6，6），（3，4），（4，3）共有23種情況．
∴P(B)=

23

36

．

點評：求一個事件的概率問題，應該先判斷出事件的所屬的概率模型，然后選擇合適的概率公式進行計算．