Question

【題目】為了美化環境，某公園欲將一塊空地規劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形．擬修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計），設∠BAD＝，(，)．

（1）當cos＝時，求小路AC的長度；

（2）當草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函數基本關系式可求sinθ，根據正弦定理可求sin∠ADB，進而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．

（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根據三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），結合題意當θ﹣φ時，四邊形ABCD的面積最大，即θ＝φ，此時cosφ，sinφ，從而可求BD的值．

（1）在中，由，

得，又，∴．

∵ ∴

由得：，解得：，

∵是以為直角頂點的等腰直角三角形 ∴且

∴

在中， ，

解得：

（2）由（1）得：，

，此時，，且

當時，四邊形的面積最大，即，此時，

∴，即

答：當時，小路的長度為百米；草坪的面積最大時，小路的長度為百米．