Question

若函數f（x）=asinx-bcosx（a，b∈R，且ab≠0）對任意的實數x都有f(

π

4

+x)=f(

π

4

-x)成立，則直線ax+by=0的傾斜角為（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  3π

  4

• C、arctan2
• D、arctan（-2）

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）=asinx-bcosx（a，b∈R，且ab≠0）對任意的實數x都有f(

π

4

+x)=f(

π

4

-x)成立，根據正弦型函數的性質，可得函數的圖象關于x=

π

4

對稱，函數在x=

π

4

時取最值，由此判斷出a，b關系后，即可得到直線的斜率，進而得到傾斜角的大小．

解答：解：若函數f（x）=asinx-bcosx=對任意的實數x都有f(

π

4

+x)=f(

π

4

-x)成立，
則函數的圖象關于x=

π

4

對稱，
即當x=

π

4

時，f（

π

4

）=asin

π

4

-bcos

π

4

=|

2

2

(a-b)|=

a2+b2

即a+b=0
則直線ax+by=0的斜率為1
則直線ax+by=0的傾斜角為

π

4

故選A

點評：本題考查的知識點是正弦型函數的對稱性及直線的傾斜角，其中根據已知條件，判斷出a，b關系后，得到直線的斜率，是解答本題的關鍵．