Question

已知數列{a_n}的前n 項和S_n是關于n（n∈N^*）的二次函數，其圖象經過三點A，B，C（如圖所示）．
（1）（本小題7分） 求S_n的解析式；
（2）（本小題8分）求數列{a_n}的通項公式，并證明數列{a_n}是等差數列．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數圖象中A（1，-4），B（2，-4），C（4，8），我們設出數列{a_n}的前n 項和S_n的表達式，進而根據待定系數法，求出S_n的表達式，進而得到答案．
（2）由（1）中S_n的表達式，根據n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，易求出數列{a_n}的通項公式，進而根據等差數列的定義，易得到結論．

解答：解：（1）由題意設S_n=an²+bn+c，將A（1，-4），B（2，-4），C（4，8）
代入得，

a+b+c=-4 4a+2b+c=-4 16a+4b+c=8

解之得

a=2 b=-6 c=0.

∴S_n=2n²-6n，n∈N^*．
（2）當n=1時，a₁=-4；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-6n-[2（n-1）²-6（n-1）]=4n-8，對n=1也成立．
∴a_n=4n-8．
∵a_n+1-a_n=[4（n+1）-8]-（4n-8）=4（為常數），∴數列{a_n}是等差數列．

點評：本題考查的知識點是數列與函數的綜合，其中由數列{a_n}的前n 項和S_n求通項公式的方法，n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，是求數列通項公式最常用的方法．