Question

已知橢圓的左右焦點分別是，離心率，為橢圓上任一點，且的最大面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設斜率為的直線交橢圓于兩點，且以為直徑的圓恒過原點，若實數滿足條件，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程；（Ⅱ）的最大值為.

解析試題分析：（Ⅰ）依題意得：，這是一個關于的方程組，解這個方程組便可得的值，從而得橢圓的方程.
（Ⅱ）設，由于以為直徑的圓恒過原點，所以，即……………………………………………………①
設直線的方程，聯立方程組，再由根與系數的關系可得：、，代入①便得一個含的等式.
將變形化簡得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，而可以用含的式子表示出來，再利用前面含的等式換掉一個變量，得一個只含一個變量的式子，再利用求函數最值的方法，便可求出其最大值.
試題解析：（Ⅰ）依題意得：，解得：，
于是：橢圓的方程，
（Ⅱ）設直線的方程由得：，
設，則.
由于以為直徑的圓恒過原點，于是，即，
又，
于是：，即
依題意有：，即.
化簡得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面開始求的最大值：
.
點到直線的距離，于是：.
又因為，所以，
代入得.
令，
于是：.
當即，即時，取最大值，且最大值為.
于是：的最大值為.
考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線；3、函數的最值.