Question

【題目】在等比數列中， ，且的等比中項為.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，數列的前項和為，是否存在正整數，使得對任意恒成立？若存在，求出正整數的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在滿足條件的正整數，正整數的最小值為.

【解析】試題分析：根據等比數列的性質，第1項與第5項的等比中項是第3項，利用公差和第三項的值求出首項，從而寫出數列的通項公式；根據題意計算，可知為等差數列，利用等差數列前n項和公式寫出前n項和，從而得出，而數列求和可以使用裂項相消法，最后根據不等式恒成立條件得出正整數的最小值.

試題解析：

（1）由的等比中項為，可知，又，則， 公比且，

.

（2），易知數列是首項為，公差為的等差數列，

，

，

則存在滿足條件的正整數，且正整數的最小值為.