Question

【題目】如圖2，在三棱錐A-BCD中，AB=CD=4, AC=BC=AD=BD=3.

(I)證明:ABCD;

(II) E在線段BC上，BE=2EC, F是線段AC的中點(diǎn)，求平面ADE與平面BFD所成銳二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接， ，易證， ，進(jìn)而得，從而得證；

（Ⅱ）過作交的延長線于點(diǎn)， ，由（Ⅰ）得，所以AP⊥平面BDC，以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，過作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得面和面的法向量，進(jìn)而利用向量求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）

證明：如圖2，取中點(diǎn)，連接， ，

，

， ， ，

， ，

．

（Ⅱ）解：過作交的延長線于點(diǎn)， ，由（Ⅰ）得，所以AP⊥平面BDC，以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，過作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

， ， ， ， ， ， ， ， ， ，

設(shè)平面的法向量為，

解得，

設(shè)平面的法向量為，

解得，

設(shè)平面ADE與平面BFD所成的二面角為，

則．