Question

設函數f（x）=x²-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函數f（x）在區間[0，4]上的取值范圍；
（2）若t=1，且對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求實數a的取值范圍．
（3）若對任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若t=1，則f（x）=（x-1）²+1，根據二次函數在[0，4]上的單調性可求函數的值域
（2）由題意可得函數在區間[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5，分別討論對稱軸x=t與區間[a，a+2]的位置關系，進而判斷函數在該區間上的單調性，可求最大值，進而可求a的范圍
（3）設函數f（x）在區間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，對任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8等價于M-m≤8，結合二次函數的性質可求

解答：解：因為f（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，
所以f（x）在區間（-∞，t]上單調減，在區間[t，∞）上單調增，且對任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），
（1）若t=1，則f（x）=（x-1）²+1．
①當x∈[0，1]時．f（x）單調減，從而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范圍為[1，2]；
②當x∈[1，4]時．f（x）單調增，從而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范圍為[1，10]；
所以f（x）在區間[0，4]上的取值范圍為[1，10]．                     …（3分）
（2）“對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等價于“在區間[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5”．
①若t=1，則f（x）=（x-1）²+1，
所以f（x）在區間（-∞，1]上單調減，在區間[1，∞）上單調增．
②當1≤a+1，即a≥0時，
由[f（x）]_max=f（a+2）=（a+1）²+1≤5，得-3≤a≤1，
從而 0≤a≤1．
③當1＞a+1，即a＜0時，由[f（x）]_max=f（a）=（a-1）²+1≤5，得-1≤a≤3，
從而-1≤a＜0．
綜上，a的取值范圍為區間[-1，1]．                             …（6分）
（3）設函數f（x）在區間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，
所以“對任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8”等價于“M-m≤8”．
①當t≤0時，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．
從而 t∈∅．
②當0＜t≤2時，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t²．
由M-m=18-8t-（2-t²）=t²-8t+16=（t-4）²≤8，得
4-2

2

≤t≤4+2

2

．
從而  4-2

2

≤t≤2．
③當2＜t≤4時，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t²．
由M-m=2-（2-t²）=t²≤8，得-2

2

≤t≤2

2

．
從而 2＜t≤2

2

．
④當t＞4時，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．
從而 t∈∅．
綜上，t的取值范圍為區間[4-2

2

，2

2

]．                      …（10分）

點評：本題主要考查了二次函數閉區間上的最值的求解，解題的關鍵是確定二次函數的對稱軸與所給區間的位置關系，體現了分類討論思想的應用．