Question

已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與軸平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意.

Answer 1

（1）
（2）在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù).
（3）構(gòu)造函數(shù)借助于導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到求解最值來得到證明。

解析試題分析：解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;   4分
(Ⅱ),令可得,
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù).      8分
(Ⅲ),
(1)當(dāng)時, ,.  10分
(2)當(dāng)時,要證.
只需證即可
設(shè)函數(shù).
則,
則當(dāng)時,
令解得,
當(dāng)時;當(dāng)時,
則當(dāng)時,且,
則,于是可知當(dāng)時成立
綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.          14分
另證1:設(shè)函數(shù),則,
則當(dāng)時,
于是當(dāng)時,要證,
只需證即可,
設(shè),,
令解得,
當(dāng)時;當(dāng)時,
則當(dāng)時,
于是可知當(dāng)時成立
綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.
另證2:根據(jù)重要不等式當(dāng)時,即,
于是不等式,
設(shè),,
令解得,
當(dāng)時;當(dāng)時<