Question

如圖，△OAB是斜邊長為4的等腰直角三角形，記△OAB位于直線x=t（t＞0）左側的圖形的面積為f（t）．
（Ⅰ）求函數f（t）的解集；
（Ⅱ）畫出函數y=f（t）的圖象．

Answer 1

分析：（I）求f（t）的解析式時，關鍵是要根據圖象，對t的取值進行恰當的分段，然后分段求出函數的解析式．
（II）結合分段函數的解析式，再根據解析式畫出函數的圖象．

解答：解：（I）當0＜t≤2時，
如圖，設直線x=t與△OAB的OA，OB分別交于C、D兩點，
因為△OAB是斜邊長為4的等腰直角三角形，并且|OC|=t，
所以|CD|=t．
f(t)=

1

2

|OC|•|CD|=

1

2

•t•t=

1

2

t2．
當2＜t≤4時，設直線x=t與△OAB的AB，OA分別交于M、N兩點，則|AN|=4-t，
因為△OAB是斜邊長為4的等腰直角三角形，
所以△OAB的面積為：S△OAB=

1

2

×4×2=4．
又因為|AN|=4-t，
所以|MN|=4-t．
所以f(t)=4-

1

2

•|AN|•|MN|=4-

1

2

(4-t)2=-

1

2

t2+4t-4．
當t＞4時，f（t）=4．
所以f(t)=

1 2 t2，0＜t≤2 - 1 2 t2+4t-4，2＜t≤4 4，t＞4

．
（II）由（I）可得函數y=f（t）的圖象如圖所示：

點評：解決分段函數的問題時，首先要確定自變量的數值屬于哪一個區間段，從而選相應的關系式，對于分段函數，注意處理好各段的端點，分段函數的圖象也是分段進行．