【題目】以邊長為4的等比三角形
的頂點
以及
邊的中點
為左、右焦點的橢圓過
兩點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過點
且
軸不垂直的直線
交橢圓于
兩點，求證直線
與
的交點在一條直線上.
【答案】（1）
（2）
【解析】
試題分析：
（1）先建立直角坐標系，使橢圓方程為標準方程，則
（2）研究圓錐曲線的定值問題，一般方法為以算代證，即先求兩直線交點坐標，再確定交點所在定直線：由對稱性可知兩直線交點必在垂直于x軸的直線上，因此運算目標為求交點橫坐標為定值，設
的方程為
，
，則
：
，
：
，消去y得
，再利用直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理可得
，
，代入化簡得
試題解析：（1） 由題意可知兩焦點為
與
，且
，因此橢圓的方程為. （4分）
（2） ① 當
不與
軸重合時，
設的方程為
，且
，
聯立橢圓與直線
消去
可得
，即，
設
，
則： ①
： ②
②-①得
則
，即.
②當
與
軸重合時，即
的方程為
，即
，
.
即：
①
：
②
聯立①和②消去
可得.
綜上
與
的交點在直線上.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
的離心率為
，右頂點為
，直線
過原點
，且點
在x軸的上方，直線
與
分別交直線
：
于點
、
.
（1）若點
，求橢圓的方程及△ABC的面積；
（2）若為動點，設直線與
的斜率分別為
、
.
①試問
是否為定值？若為定值，請求出；否則，請說明理由；
②求△AEF的面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績（均為整數）分成六組[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后，畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：
(Ⅰ) 求成績落在[70，80）上的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(Ⅱ) 估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；
(Ⅲ) 設學生甲、乙的成績屬于區間[40，50），現從成績屬于該區間的學生中任選兩人，求甲、乙中至少有一人被選的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設事件A表示“關于
的一元二次方程
有實根”，其中
，
為實常數.
（Ⅰ）若為區間[0，5]上的整數值隨機數，為區間[0，2]上的整數值隨機數，求事件A發生的概率；
（Ⅱ）若為區間[0，5]上的均勻隨機數，為區間[0，2]上的均勻隨機數，求事件A發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若l⊥m，mα，則l⊥α
B. 若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C. 若l∥α，mα，則l∥m
D. 若l∥α，m∥α，則l∥m
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】劉老師是一位經驗豐富的高三理科班班主任，經長期研究，他發現高中理科班的學生的數學成績（總分150分）與理綜成績（物理、化學與生物的綜合，總分300分）具有較強的線性相關性，以下是劉老師隨機選取的八名學生在高考中的數學得分x與理綜得分y（如下表）：
學生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數學分數x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理綜分數y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
參考數據及公式： 
．
（1）求出y關于x的線性回歸方程；
（2）若小汪高考數學110分，請你預測他理綜得分約為多少分？（精確到整數位）；
（3）小金同學的文科一般，語文與英語一起能穩定在215分左右．如果他的目標是在
高考總分沖擊600分，請你幫他估算他的數學與理綜大約分別至少需要拿到多少分？（精確到整數位）．
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