Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成的角的余弦值；
（3）求A點到平面PCD的距離．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標軸建立直角坐標系，根據向量數量積為零可知線線垂直，從而

PD

⊥面BEA，根據線面垂直的性質可知PD⊥BE；
（2）先分別求出向量

AE

，向量

CD

的坐標，然后利用空間向量的夾角公式求出兩向量的夾角的余弦值，即為AE與CD所成角的余弦值；
（3）先求出平面PCD的法向量，然后求出DA向量在法向量上的投影的長度即為A點到平面PCD的距離．

解答：解：（1）證明：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標軸建立直角坐標系（如圖）
則A(0，0，0)，B(1，0，0)D(0，2，0)P(0，0，

2 3

3

)

AB

•

PD

=(1，0，0)•(0，2，-

2 3

3

)=0
又

AE

•

PD

=0∴

AB

⊥

PD

，

AE

⊥

PD

所以

PD

⊥面BEA，BE?面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，
∴∠PDA=30°
過E作EF⊥AD，垂足為F，則AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
AF=

1

2

，EF=

3

2

∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
于是

AE

=(0，

1

2

，

3

2

)
又C(1，1，0)，D(0，2，0)，

CD

=(-1，1，0)
則COSθ=

AE • CD

| AE || CD |

=

2

4

∴AE與CD所成角的余弦值為

2

4

．
（3）設

V

⊥平面PCD，則

V

⊥

PD

，

V

⊥

CD

即(x，y，z)•(0，2，-

2 3

3

)=0∴2y-

2 3

3

z=0（x，y，z）•（-1，1，0）=0∴-x+y=0
令y=1則x=y=1，z=

3

y=

3

，

V

=(1，1，

3

)
A點到平面PCD的距離設為d，則d=

| V • DA |

| V |

=

2 5

5

即A點到平面PCD的距離為

2 5

5

．

點評：本題主要考查了線線的位置關系、線線所成角以及點到面的距離，同時考查了利用空間向量求解立體幾何問題，考查空間想象能力，運算求解能力，屬于綜合題．