Question

（2012•濟南三模）如果若干個函數的圖象經過平移后能夠重合，則稱這些函數為“同簇函數”．給出下列函數：
①f（x）=sinxcosx；②f（x）=2sin（x+

π

4

）；③f（x）=sinx+

3

cosx；  ④f（x）=

2

sin2x+1．
其中“同簇函數”的是（　　）

A．①②

B．①④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：根據題意，能構成“同簇函數”的兩個函數的圖象形狀和大小都相同，可得它們的周期和振幅必定相同．因此將各項中函數的周期與振幅求出并加以比較，即可得到本題的答案．

解答：解：∵構成“同簇函數”的兩個函數圖象經過平移后能夠重合，
∴能構成“同簇函數”的兩個函數的圖象形狀和大小都相同，可得它們的周期和振幅必定相同
因此，將各個函數化簡整理，得
①f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，周期為π，振幅是

1

2

；
②f（x）=2sin（x+

π

4

）的周期為2π，振幅為2；
③f（x）=sinx+

3

cosx=2（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）=2sin（x+

π

3

），周期為2π，振幅為2；
④f（x）=

2

sin2x+1的周期為π，振幅為

2

．
由此可得，②③的兩個函數的周期和振幅都相同，它們是“同簇函數”
故選：C

點評：本題給出“同簇函數”的定義，要我們從幾個函數中找出符合題意的函數，著重考查了三角函數的恒等變形，三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．