Question

若函數y=f(x)是周期為2的偶函數,當x∈［2,3］時,f(x)=x－1.在y=f(x)的圖象上有兩點A、B,它們的縱坐標相等,橫坐標都在區間［1,3］上,定點C的坐標為(0,a)(其中2<a<3),

(1) 求當x∈［1,2］時,f(x)的解析式;

(2) 定點C的坐標為(0,a)(其中2<a<3),求△ABC面積的最大值.

Answer 1

(1) f(x)=－x+3，(2) 當t=時,S_最大值=

解析:

(1)∵f(x)是以2為周期的周期函數,當x∈［2,3］時,f(x)=x－1,

∴當x∈［0,1］時,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1.     …………1分

∵f(x)是偶函數,∴當x∈［－1,0］時,f(x)=f(－x)=－x+1,   …………2分

當x∈［1,2］時,f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3.       …………4分

(2)設A、B的橫坐標分別為3－t,t+1,1≤t≤2,則|AB|=(t+1)－(3－t)=2t－2,   …………6分

∴△ABC的面積為S=(2t－2)·(a－t)=－t²+(a+1)t－a(1≤t≤2)=－(t－)²+

∵2<a<3,∴<<2.當t=時,S_最大值=…………12分