Question

【題目】已知橢圓：，，分別是橢圓短軸的上下兩個端點，是橢圓的左焦點，P是橢圓上異于點，的點，若的邊長為4的等邊三角形．

寫出橢圓的標準方程；

當直線的一個方向向量是時，求以為直徑的圓的標準方程；

設點R滿足：，，求證：與的面積之比為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

由是邊長為4的等邊三角形得，進一步求得，則橢圓方程可求；

由直線的一個方向向量是，可得直線所在直線的斜率，得到直線的方程，由橢圓方程聯立，求得P點坐標，得到的中點坐標，再求出，可得以為直徑的圓的半徑，則以為直徑的圓的標準方程可求；

方法一、設，求出直線的斜率，進一步得到直線的斜率，得到直線的方程，同理求得直線的方程，聯立兩直線方程求得R的橫坐標，再結合在橢圓上可得與的關系，由求解；

方法二、設直線，的斜率為k，得直線的方程為結合，可得直線的方程為，把與橢圓方程聯立可得，再由在橢圓上，得到，從而得到，得結合，可得直線的方程為與線的方程聯立求得再由求解．

解：如圖，由的邊長為4的等邊三角形，得，且．

橢圓的標準方程為；

解：直線的一個方向向量是，

直線所在直線的斜率，則直線的方程為，

聯立，得，

解得，．

則的中點坐標為，．

則以為直徑的圓的半徑．

以為直徑的圓的標準方程為；

證明：方法一、設，

直線的斜率為，由，得直線的斜率為．

于是直線的方程為：．

同理，的方程為：．

聯立兩直線方程，消去y，得．

在橢圓上，

，從而．

，

．

方法二、設直線，的斜率為k，，則直線的方程為．

由，直線的方程為，

將代入，得，

是橢圓上異于點，的點，，從而．

在橢圓上，

，從而．

，得．

，直線的方程為．

聯立，解得，即．

．