Question

21．設(shè)A、B別為橢圓=1（a，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4是它的右準(zhǔn)線。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AB，BP分別與橢圓相交于異于A，B的M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)

Answer 1

本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。

解：（Ⅰ）依題意得解得從而，故橢圓方程為

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設(shè)M，M點(diǎn)在橢圓上，①，又M點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B，由P、A、M三點(diǎn)共線可得

從而②.將①式代入②式化簡(jiǎn)得,于是為銳角,從而為鈍角,故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).

解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0),設(shè)PM,N,則直線AP的方程為,直線BP的方程為.

點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上，

從而.③

聯(lián)立消去得

是方程的兩要，即

又⑤

于是由③、④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得

點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)

又從而

故為鈍角，即點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，

解法3：由（Ⅰ）得設(shè)則，又的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

，化簡(jiǎn)得，直線的方程為，直線的方程為.

點(diǎn)在準(zhǔn)線上,

即⑦

又∵點(diǎn)在橢圓上,即

于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡(jiǎn)可得

從而在以為直徑的圓內(nèi)