Question

【題目】已知是定義在上的奇函數，且.若對任意的， 都有.

（1）用函數單調性的定義證明： 在定義域上為增函數；

（2）若，求的取值范圍；

（3）若不等式對所有的 和都恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）任取，作差，可證明從而可得結果；（2）根據函數的單調性，結合函數的定義域，列出關于的不等式組，解不等式組即可得結果；（3）不等式恒成立等價于，即對任意恒成立，根據一次函數的性質可得結果.

試題解析：（1）設， ,

,∴在上為增函數.

（2） 在單調遞增，

.

（3）要使對任意恒成立，只要在即可，由（1）知在單調遞增， ， ， 對任意恒成立，令，只要且即可， 且.

【方法點晴】本題主要考查抽象函數的定義域、抽象函數的單調性及抽象函數解不等式，屬于難題.根據抽象函數的單調性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不能掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成 后再利用單調性和定義域列不等式組.