【題目】某學校的特長班有
名學生，其中有體育生
名，藝術生
名，在學校組織的一次體檢中，該班所有學生進行了心率測試，心率全部介于次/分到
次/分之間.現將數據分成五組，第一組
，第二組
，…，第五章
，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為
.
（1）求
的值，并求這名同學心率的平均值；
（2）因為學習專業的原因，體育生常年進行系統的身體鍛煉，藝術生則很少進行系統的身體鍛煉，若從第一組和第二組的學生中隨機抽取一名，該學生是體育生的概率為
，請將下面的列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為心率小于
次/分與常年進行系統的身體鍛煉有關？說明你的理由.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合計 | |
體育生 | 20 | ||
藝術生 | 30 | ||
合計 | 50 |
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中
.
【答案】（1）1，63.7；（2）有
的把握認為心率小于
次/分與常年進行系統的身體鍛煉有關
【解析】試題分析：（1）求出各組的頻數，即可求a的值和50名同學的心率平均值．
（2）列出二聯表，代入公式求
做出判斷即可.
試題解析：
（Ⅰ）因為第二組數據的頻率為
，故第二組的頻數為
，所以第一組的頻數為
，第三組的頻數為20，第四組的頻數為16，第五組的數為4.所以
，故
.
這50名同學的心率平均值為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，第一組和第二組的學生（即心率小于60次/分的學生）共10名，從而體育生有
名，故列聯表補充如下.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合計 | |
體育生 | 8 | 12 | 20 |
藝術生 | 2 | 28 | 30 |
合計 | 10 | 40 | 50 |
所以
，
故有99.5%的把握認為心率小于60次/分與常年進行系統的身體鍛煉有關.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為
A. 11π B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以平面直角坐標系的原點為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知曲線
的參數方程為
，（
為參數，且
），曲線
的極坐標方程為
．
（
）求的極坐標方程與的直角坐標方程．
（
）若
是上任意一點，過點的直線
交于點
，
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設橢圓
： 
，長軸的右端點與拋物線
： 
的焦點
重合，且橢圓
的離心率是
．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）過
作直線
交拋物線
于
， 
兩點，過
且與直線
垂直的直線交橢圓
于另一點
，求
面積的最小值，以及取到最小值時直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在以
、
、
、
、
、
為頂點的五面體中，平面
平面
，
，四邊形為平行四邊形，且
.
（1）求證：
；
（2）若
，
，直線
與平面所成角為
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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