Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x³－2ax＋a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＋|2－a|＞0.

Answer 1

(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)見解析

(1)由題意得f′(x)＝12x²－2a.
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝12，
此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)證明：由于0≤x≤1，故當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2.
當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2.
設(shè)g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，則
g′(x)＝6x²－2＝6.
于是

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	減	極小值	增	1

所以g(x)_min＝g＝1－＞0.
所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x³－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x³－4x＋2＞0.