Question

（2012年高考（北京理））設A是由個實數組成的行列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零.記為所有這樣的數表構成的集合.

對于，記為A的第行各數之和，為A的第列各數之和；

記為，，…，，，，…，中的最小值.

（1）對如下數表A,求的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）設數表A=形如

1	1	1
		-1

求的最大值；

（3）給定正整數，對于所有的A∈S(2，),求的最大值。

Answer 1

【考點定位】此題作為壓軸題難度較大,考查學生分析問題解決問題的能力,考查學生嚴謹的邏輯思維能力.

解:(1)由題意可知,,,,∴

(2)先用反證法證明:

若  則,∴

同理可知,∴   由題目所有數和為   即  ∴

與題目條件矛盾

∴.

易知當時,存在   ∴的最大值為1

(3)的最大值為.

首先構造滿足的:

,

.

經計算知,中每個元素的絕對值都小于1,所有元素之和為0,且

,

,

.

下面證明是最大值. 若不然,則存在一個數表,使得.

由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小于,而兩個絕對值不超過1的數的和,其絕對值不超過2,故的每一列兩個數之和的絕對值都在區間中. 由于,故的每一列兩個數符號均與列和的符號相同,且絕對值均不小于.

設中有列的列和為正,有列的列和為負,由對稱性不妨設,則. 另外,由對稱性不妨設的第一行行和為正,第二行行和為負.

考慮的第一行,由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少于個負數,每個正數的絕對值不超過1(即每個正數均不超過1),每個負數的絕對值不小于(即每個負數均不超過). 因此

,

故的第一行行和的絕對值小于,與假設矛盾. 因此的最大值為.