Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)、直線，我們稱為點(diǎn)到直線的方向距離.

（1）設(shè)雙曲線上的任意一點(diǎn)到直線，的方向距離分別為，求的值；

（2）設(shè)點(diǎn)、到直線的方向距離分別為，試問是否存在實(shí)數(shù)，對任意的都有成立？說明理由；

（3）已知直線和橢圓，設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到直線的方向距離分別為滿足，且直線與軸的交點(diǎn)為、與軸的交點(diǎn)為，試比較的長與的大小.

Answer 1

【答案】(1)；(2)，理由見詳解；(3)，證明見詳解.

【解析】

(1)根據(jù)定義表示出，然后結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上計(jì)算出的值；

(2)假設(shè)存在滿足條件，計(jì)算出的值，令，即可求解出滿足條件的的值；

(3)根據(jù)新定義得到的結(jié)果，根據(jù)條件得到的范圍，將的范圍代入到中利用基本不等式即可比較出與的大小，即可比較出與的大小.

(1)由題設(shè)可知：設(shè)，所以，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以；

(2) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，因?yàn)?/span>，

，

所以，所以，所以，

故存在滿足條件；

(3)因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，取等號時(shí)，

所以，所以.