Question

設四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，PA=AB，E為PD的中點．
（1）求證：直線PB∥面ACE
（2）求證：直線AE⊥面PCD
（3）求直線AC與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于點O，連接OE，由三角形中位線定理可得OE∥PB，由直線與平面平行的判定定理可得直線PB∥面ACE
（2）由已知中PA⊥面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，可得PA⊥CD，CD⊥AD，由線面垂直的判定定理可得CD⊥面PAD，根據線面垂直的可得CD⊥AE，結合已知中PA=AB=AD，E為PD的中點，我們可得AE⊥PD，由線面垂直的判定定理，即可得到答案．
（3）由（2）的結論可得：AC在面PCD內的射影為CE，則直線AC與平面PCD所成角為∠ACE，解三角形ACE即可求出直線AC與平面PCD所成角的大小．

解答：解：（1）連接BD交AC于點O，連接OE
易知：O為BD的中點
而E為PD的中點
∴OE∥PB
又PB不在平面ACE內，OE在平面ACE內
∴PB∥平面ACE         …（4分）
（2）證明：∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又正方形ABCD
∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD故：CD⊥AE
∵在直角三角形PAD中，PA=AB=AD，E為PD的中點∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD…（8分）
（3）由（2）知：AC在面PCD內的射影為CE
故直線AC與平面PCD所成角為∠ACE        …（10分）
由于PA=AB=AD=2，在直角三角形ACF中，易知：AE=

2

，AC=2

2

∴sin∠ACE=

AE

AC

=

1

2

∴∠ACE=30°
即：直線AC與平面PCD所成角的大小為30°     …（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中（1）的關鍵是證得OE∥PB，（2）的關鍵是證得CD⊥AE，AE⊥PD，（3）的關鍵是證得直線AC與平面PCD所成角為∠ACE．