Question

已知點集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，點列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁為L與y軸的交點，等差數列{a_n}的公差為1，（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若cn=

5

n•|P1Pn|

，(n≥2)，求

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)
（3）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在k∈N^*，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據所給的向量的坐標，做出向量的數量積，根據點的坐標，得到數列的首項，根據公差做出通項，根據點列P_n（a_n，b_n）在L中，得到b_n=2a_n+1=2n-1
（2）根據所給的點P_n（a_n，b_n）的坐標為（n-1，2n-1），表示出數列的通項，并且整理變化利用裂項法做出數列的請n項和，求出和的極限．
（3）需要針對于k的奇偶性進行討論，當k是偶數時，k+11為奇數，代入適合的分段函數得k=4； 當k為奇數時，k+11為偶數，代入符合的分段函數得到方程無解．

解答：解：（1）y=

m

•

n

=(2x-b，1)•(1，b+1)=2x+1
∴L={（x，y）|y=2x+1}，則P₁點的坐標是（0，1）
∴a₁=0
又∵等差數列{a_n}的公差為1，
∴a_n=n-1，（2分）
∴點列P_n（a_n，b_n）在L中，
∴b_n=2a_n+1=2n-1（4分）
（2）當n≥2時，點P_n（a_n，b_n）的坐標為（n-1，2n-1），
∴

P1Pn

=(n-1，2n-2)
|

P1Pn

|=

5

(n-1)     cn=

5

n•| P1Pn |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，（6分）
所以

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)=

lim

n→∞

(1-

1

n

)=1（8分）
（3）假設存在滿足條件的k，則
1°當k是偶數時，k+11為奇數，則f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，由f（k+10）=2f（k），得k=4； （10分）
2°當k為奇數時，k+11為偶數，則f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，由f（k+11）=2f（k），方程無解．
綜上得到存在k=4符合題意．（12分）

點評：本題考查數列的求和，數列的極限，是一個綜合題目，本題解題的關鍵是求出數列的通項，本題是一個易錯題，第三問容易忽略對于n的奇偶性不同，所得的結果不同．