Question

已知橢圓的中心在坐標原點，右準線為，離心率為．若直線與橢圓交于不同的兩點、，以線段為直徑作圓.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若圓與軸相切，求圓被直線截得的線段長.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先根據題中的條件確定、的值，然后利用求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）先確定點的坐標，求出圓的方程，然后利用點（圓心）到直線的距離求出弦心距，最后利用勾股定理求出直線截圓所得的弦長.
試題解析：（1）設橢圓的方程為，由題意知，，解得，
則，，故橢圓的標準方程為             5分
（2）由題意可知，點為線段的中點，且位于軸正半軸，
又圓與軸相切，故點的坐標為，
不妨設點位于第一象限，因為，所以，               7分
代入橢圓的方程，可得，因為，解得，               10分
所以圓的圓心為，半徑為，其方程為            12分
因為圓心到直線的距離              14分
故圓被直線截得的線段長為             16分