Question

【題目】橢圓E： （a＞b＞0）的左右焦點分別為F1、F2 ， D為橢圓短軸上的一個頂點，DF1的延長線與橢圓相交于G．△DGF2的周長為8，|DF1|=3|GF1|．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的左頂點A作橢圓E的兩條互相垂直的弦AB、AC，試問直線BC是否恒過定點？若是，求出此定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由△DGF2的周長是8，得：4a=8，解得：a=2，
由|DF1|=3|GF1|且G在DF1的延長線上，
得 = ，設G（x0 ， y0），
則（x0 ， y0﹣b）= （﹣c，﹣b），x0=﹣ c，y0=﹣ b，
由 =1，解得：c2=2，
∴b2=2，橢圓E的方程是 =1；
（Ⅱ）A（﹣2，0），直線AB、AC均有斜率，
設AB：y=k（x+2），AC：y=﹣ （x+2），
由 ，得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，
解得：x1=﹣2，x2=﹣ ，
當x2=﹣ 時，y2=
∴B（﹣ ， ），
同理C（ ，﹣ ），
直線BC的方程是3kx+2（k2﹣1）y+2k=0，
直線BC恒過定點（﹣ ，0）
【解析】（Ⅰ）根據三角形的周長求出a的值，設G（x0 ， y0），求出b，c的值，從而求出橢圓E的方程即可；（Ⅱ）分別設出AB，AC的斜率，聯立直線和圓的方程組，分別求出B、C的坐標，求出直線BC的方程，從而求出直線恒過的定點即可．