Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)底面是邊長為1的正方形，以及勾股定理，證明PA⊥AD，再根據(jù)PA⊥CD，AD∩CD=D，即可證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）根據(jù)四棱錐P-ABCD的底面積為1，高為PA，即可求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
PA=1，PD=

2

所以PD²=PA²+AD²，所以PA⊥AD
又PA⊥CD，AD∩CD=D
所以PA⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為：

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．