Question

已知函數f(x)=

ax-1

ax+1

，
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）當x≥0時，求函數f（x）的值域；
（3）當a＞1時，判斷并證明函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）用定義法，先看定義域是否關于原點對稱，再研究f（-x）與f（x）的關系．若相等，則為偶函數；若相反，則為奇函數；
（2）先將函數式變形f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，再對a進行分類討論：當a＞1時；當0＜a＜1分別求出即f（x）的值域，最后綜合即可；
（3）用定義法，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．當自變量變化與函數值變化一致時，為增函數；當自變量變化與函數值變化相反時，為減函數．

解答：解：（1）∵定義域為R，且f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，∴f（x）是奇函數．
（2）f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
當a＞1時
∵x≥0
∴a^x+1≥2，
∴0＜

2

ax+1

≤1，
即f（x）的值域為[0，1）；
當0＜a＜1時
∵x≥0
∴1＜a^x+1≤2，
∴1≤

2

ax+1

＜2，
即f（x）的值域為（-1，0]．
∴當a＞1時，f（x）的值域為[0，1）；當0＜a＜1時，f（x）的值域為（-1，0]．
（3）當a＞1時，函數f（x）是R上的增函數
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0
∵分母大于零，且a x 1＜a x 2，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數．

點評：本題考查的知識點是指數函數綜合題，函數奇偶性的判斷與函數單調性的判斷及指數函數的值域和單調性，熟練掌握函數的各種性質及判斷方法是解答本題的關鍵．