Question

已知函數f（x）=x|x|-2ax+1（x，a∈R）有下列四個結論：
（1）當a=0時，f（x）的圖象關于原點對稱
（2）f（|x|）有最小值1-a²
（3）若y=f（x）的圖象與直線y=2有兩個不同交點，則a=1
（4）若f（x）在R上是增函數，則a≤0
其中正確的結論為（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（3）

D．（3）（4）

Answer 1

分析：（1）若f（x）的圖象關于原點對稱則f（0）=0，因為f（0）=1所以（1）錯．
（2）函數f（|x|）=f（|-x|）所以函數為偶函數，當x≥0時y=x²-2ax+1此時其對稱軸為x=a．所以（2）錯．
（3）（4）根據函數的圖象可得若y=f（x）的圖象與直線y=2有兩個不同交點，則a=1，若f（x）在R上是增函數，則a≤0所以（3）（4）正確．

解答：解：（1）當a=0時，函數f（x）=x|x|+1由題得x∈R所以x=0有意義，所以所以當a=0時，f（x）的圖象不關于原點對稱．（1）錯．
（2）f（|x|）=x²-2a|x|+1，所以函數f（|x|）=f（|-x|）所以函數為偶函數．當x≥0時y=x²-2ax+1此時其對稱軸為x=a，當a≤0時函數的最小值為1，由函數是偶函數得當x≥0時函數的最小值也是1，所以f（|x|）有最小值1-a²是錯誤的．（2）錯．
（3）由題意得y=f（x）=

x2-2ax+1，x≥0 -x2-2ax+1，x＜0

，
當a＜0時與a≥0時函數的圖象分別為

所以若y=f（x）的圖象與直線y=2有兩個不同交點，則a=1．（3）正確．
（4）由（3）可得當a≤0時函數函數f（x）=x|x|-2ax+1是增函數．（4）正確．
故選D．

點評：本題主要考查二次函數的奇偶性，單調性等性質，解決此類問題的方法是根據函數的解析式畫出函數的圖象，運用數形結合的數學思想解決問題．