Question

某汽車公司有兩家裝配廠，生產甲、乙兩種不同型號的汽車，若A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車；B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車．今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費的總工作時數最少？

Answer 1

分析：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解．

解答：解：設A廠工作xh，B廠工作yh，總工作時數為th，則t=x+y，
且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，
可行解區域如圖．
而符合問題的解為此區域內的格子點（縱、橫坐標都是整數的點稱為格子點），
于是問題變為要在此可行解區域內，
找出格子點（x，y），使t=x+y的值為最小．
由圖知當直線l：y=-x+t過Q點時，
縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，
我們還必須看Q點是否是格子點．
解方程組

x+3y=40 2x+y=20

得Q（4，12）為格子點．
故A廠工作4h，B廠工作12h，可使所費的總工作時數最少．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．