Question

已知函數，（其中）．
（Ⅰ）求函數的極值；
（Ⅱ）若函數在區間內有兩個零點，求正實數a的取值范圍；（Ⅲ）求證：當時，．（說明：e是自然對數的底數，e=2.71828…）

Answer 1

（Ⅰ）極小值為，無極大值（Ⅱ）（Ⅲ）問題等價于．由（Ⅰ）知的最小值為．設，得在上單調遞增，在上單調遞減．∴，
∵=，∴，∴，故當時，

解析試題分析：（Ⅰ），
∴（，），
由，得，由，得，
故函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數的極小值為，無極大值．  4分
（Ⅱ）函數，
則，
令，∵，解得，或（舍去），
當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增．
函數在區間內有兩個零點，
只需即∴
故實數a的取值范圍是．   9分
（Ⅲ）問題等價于．由（Ⅰ）知的最小值為．
設，得在上單調遞增，在上單調遞減．
∴，
∵=，
∴，∴，故當時，．  14分
考點：函數極值最值
點評：求函數極值最值都需要首先找到函數的單調區間，第二問將函數存在零點轉化為最值邊界值的范圍，第三問將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，這兩種轉化是函數綜合題中經常考到的