Question

設-5＜a＜5，集合M={x∈N|2^x-（a+5）x-10=0}．若M≠?，則滿足條件的所有實數a的和等于（　　）

• A．-

  3

  5

• B．4
• C．

  1

  10

• D．-

  1

  10

Answer 1

分析：先由條件判斷x≥4，由于函數的導數大于零，可得f（x）在x≥4時單調增，故至多只有一個零點．分別令f（4）=0、
f（5）=0、f（6）=0、f（7）=0，求得a的值，x≥7時，f（x）恒大于0，不會有零點．最后把求得的a值相加，即得所求．

解答：解：因-5＜a＜5，x為自然數，且2^x=（a+5）x+10≥10，∴x≥4．
令f（x）=2^x-（a+5）x-10 得：f'（x）=2^x ln2-（a+5）≥16ln2-（a+5）＞0，
即f（x）在x≥4時單調增，故至多只有一個零點．
令f（4）=6-4（a+5）=0，解得 a=-3.5；
f（5）=22-5（a+5）=0，解得：a=-0.6；
f（6）=54-6（a+5）=0，得：a=4；
f（7）=118-7（a+5）＞0，x≥7時，f（x）恒大于0，不會有零點．
因此滿足條件的a有3個，其和為-3.5-0.6+4=-0.1，
故選D．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷，求函數的導數，屬于中檔題．