Question

已知曲線C：y＝x＋ax－8在x＝2處的切線的方程為y＝15x+b．

   （1）求實數a，b的值；

（2）若曲線C的切線l經過點P(，－4)，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）設f(x)＝x＋ax－8，則f(x)＝3x＋a．     

由條件可知，f(2)＝15，即12＋a＝15，解得a＝3．     ………………………2分

因為f(x)＝x＋3x－8，所以f(2)＝6．將(2，6)代入y＝15x＋b，解得b＝－24． …5分

     （2）設直線l與曲線C切于點Q(m，n).

由（1）可知，f(x)＝x＋3x－8，f(x)＝3x＋3．

所以直線l的斜率k＝f(m)＝3m＋3．直線l的方程為y－n＝(3m＋3)(x－m)．………7分

因為直線l經過點P(，－4)，所以－4－n＝(3m＋3)(－m)，

即n＝3m－4m＋3m－8．                                      ① 

因為Q(m，n)在曲線C上，所以n＝f(m)＝m＋3m－8．      ②  ……………11分

由①、②解得或.                   …………………………………13分

      當Q(0，－8)時，直線l的方程為y＝3x－8．

當Q(2，6)時，直線l的方程為y＝15x－24．

      綜上，所求直線l的方程為y＝3x－8或y＝15x－24．……………………………15分