Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是B₁B、AB、BC的中點．
（1）證明：D₁F⊥平面AEG；
（2）求cos＜

AE

，

D1B

＞．

Answer 1

分析：（1）如圖以D為原點，DA、DC、DD₁所在的直線分別為x、y、z軸，求出D₁F與EG₁的方向向量，根據向量的數量積為0，兩個向量垂直得到D₁F⊥EG，D₁F⊥AE．結合線面垂直的判定定理可得D₁F⊥平面AEG．
（2）由 由

AE

=（0，a，），

D1B

=（a，a，-a），代入向量夾角公式可得cos＜

AE

，

D1B

＞．

解答：解：以D為原點，DA、DC、DA₁所在的直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標系，設正方體AC₁棱長為a，則D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），E（a，a，

a

2

），
F（a，

a

2

，0），G（

a

2

，a，0）．
（1）

AE

=（0，a，

a

2

），∴

D1F

•

AE

=a×0+

a

2

×a-a×

a

2

=0
∴D₁F⊥AE，
同理D₁F⊥EG
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．
（2）由

AE

=（0，a，），

D1B

=（a，a，-a）
∴cos＜

AE

，

D1B

＞=

AE • D1B

| AE || D1B|

=

a2- 1 2 a2

a2+ a2 4 • 3a2

=

5

15

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，點、線、面間的距離計算，是立體幾何的一個綜合考查，難度稍大．