Question

將數列{a_n}中的所有項按第一行排三項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：

記表中的第一列數a₁，a₄，a₈，…構成的數列為{b_n}，已知：
（1）在數列{b_n}中，b₁=1，對于任何n∈N*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
（2）表中每一行的數按從左到右的順序均構成公比為q（q＞0）的等比數列；
（3），請解答以下問題：
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N*）行所有項的和S（k）；
（Ⅲ）若關于x的不等式在上有解，求正整數k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）由（n+1）b_n+1-nb_n=0，得{nb_n}為常數列，
故nb_n=1·b₁=1，
所以；
（Ⅱ）因為3+4+5+…+11=63，
所以表中第一行至第九行共含有數列{a_n}的前63項，
a₆₆在表中第十行第三列，故a₆₆=b₁₀·q²，
而，
∴q=2，
故S（k）=。
（Ⅲ）函數在上是減函數，
故f（x）的最小值為，
若關于x的不等式在上有解，
設m（k）=，
則必須，
m（k+1）-m（k）=，
m（1）=m（2）=8，
函數m（k）在k＞2的自然數集上單調遞增，
而，m（8）=128，
所以k的取值范圍是大于7的一切正整數。