Question

已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，AB上的中線CD=m，求證：a²+b²=

1

2

c²+2m²．

Answer 1

分析：法一：在△ABC中，要證：a²+b²=

1

2

c²+2m²成立，可以用（向量法），即

BC

=

BD

+ 

DC

，

AC

=

AD

+

DC

，兩式平方相加可得結論；
法二：根據余弦定理，a2=(

1

2

c)2+m2-2•

1

2

c•m•cos∠BDC，b2=(

1

2

c)2+m2-2•

1

2

c•m•cos∠ADC，兩式相加即得結論．

解答：證明：法一：如圖所示（向量法），在△ABC中，
∵

BC

=

BD

+ 

DC

 ①，

AC

=

AD

+

DC

 ②，
且|

BC

|=a，|

AC

|=b，|

AD

|=|

BD

|=

1

2

c，|

DC

|=m；
①②兩式平方相加，可得：a²+b²=

1

2

c²+2m²+2（

BD

•

DC

+

AD

•

DC

）；
∵

BD

•

DC

+

AD

•

DC

=|

BD

||

DC

|•cos∠BDC+|

AD

||

DC

|cos∠CDA=

1

2

c•m•cos∠BDC+

1

2

c•m•cos（π-∠BDC）=0；
∴a²+b²=

1

2

c²+2m²．即證．
法二：（余弦定理法）在△ABC中，由余弦定理，得a2=(

1

2

c)2+m2-2•

1

2

c•m•cos∠BDC，b2=(

1

2

c)2+m2-2•

1

2

c•m•cos∠ADC，兩式相加，得
a2+b2=

1

2

c2+2m2-cm•cos∠BDC-cm•cos（π-∠BDC）=

1

2

c²+2m²；即證．

點評：本題在三角形中考查了平面向量的線性表示和基本的運算，屬于基礎題；本題也可以應用余弦定理，得出證明，解題思路比較多．