Question

數列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ.
⑴求通項a_n；
⑵求數列{a_n}的前n項和 S_n.

Answer 1

（1）a_n=
（2）S_n=3×2 ⁿ-2

（1）a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ，
∴a₁+2a₂+2²a₃+…+2ⁿa_n+1=4ⁿ⁺¹，相減得2ⁿ a_n+1=3×4ⁿ, ∴a_n+1=3×2ⁿ,
又n=1時a₁=4，∴綜上a_n=為所求；
⑵n≥2時，S_n=4+3(2ⁿ-2),  又n=1時S₁=4也成立，
∴S_n=3×2 ⁿ-2