Question

已知直線l與函數(shù)f（x）=lnx的圖象相切于點(diǎn)（1，0），且l與函數(shù)（m＜0）的圖象也相切．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x）得到斜率k=f′（1），且過(guò)（1，0），寫出直線方程即可．因?yàn)橹本�l與g（x）的圖象相切聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，消去y得到一元二次方程，根的判別式=0即可求出m；
（Ⅱ）把g（x）代入到h（x）得a大于一個(gè)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)x的值，再根據(jù)自變量的取值范圍討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值，讓a大于最大值即可求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵，直線l是函數(shù)f（x）=lnx的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線，
∴其斜率為k=f′（1）=1
∴直線l的方程為y=x-1．
又因?yàn)橹本�l與g（x）的圖象相切，
由，
得△=（m-1）²-9=0⇒m=-2（m=4不合題意，舍去）
（Ⅱ）∵
由恒成立，
得恒成立
設(shè)，則
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ϕ′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，ϕ′（x）＜0．
于是，ϕ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
故φ（x）的最大值為ϕ_max（x）=ϕ（1）=1
要使a≥ϕ（x）恒成立，只需a≥1，
∴a的取值范圍為[1，+∞）
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時(shí)取條件的能力，明白導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)切線方程的能力．