Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性和單調性；
（2）求f（x）在[-4，4]上的最值；
（3）解關于x的不等式

1

2

f（bx²）-f（x）＞

1

2

f（b²x）-f（b）（b²≠2）．

Answer 1

分析：1）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，再比較f（x₁）和f（x₂）的大小，從而得出：f（x）是增函數；
（2）由（1）可得f（x）為[-4，4]上是減函數，則f（x）的最大值為f（-4），最小值為f（4），利用賦值法可求
（3）根據f（x）為R上的減函數也是奇函數，原不等式可轉化為bx²-（2+b²）x+2b＜0，解二次不等式可求x的范圍

解答：解：（1）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=0得f（0）=0．
再令x₁=x，x₂=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為R上的奇函數．
設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，當x＞0時f（x）＜0．
∴f（x₂-x₁）＜0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）為R上的減函數．
（2）∵f（x）為R上的減函數
∴f（x）為[-4，4]上是減函數
∴f（x）的最大值為f（-4），最小值為f（4）
最小值f（4）=f（1+3）=f（1）+f（3）=4f（1）=-8
最大值f（-4）=-f（4）=8
（3）∵

1

2

f（bx²）-f（x）＞

1

2

f（b²x）-f（b）
∴

1

2

f(bx2-b2x)＞f(x-b)
∵f（

x

2

+

x

2

）=2f（

x

2

）∴f(

x

2

)=

1

2

f(x)
∴f(

bx2-b2x

2

)＞f(x-b)
∴bx²-b²x＜2x-2b
∴bx²-（2+b²）x+2b＜0，
若b=0，則{x|x＞0}；若b≠0，則b（x-

2

b

）（x-b）＜0
當-

2

＜b＜0時，則{x|x＜

2

b

或x＞b}
當b＜-

2

時，則{x|x＜b或x＞

2

b

}
當0＜b＜

2

時，則{x|b＜x＜

2

b

}
當b＞

2

時，則{x|

2

b

＜x＜b}

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．