Question

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；
(2)設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂＝1；
(3)是否存在常數λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)＝1.＝1.(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，
則k₁＝，k₂＝.因為點P在雙曲線x²－y²＝4上，所以x－y＝4.
因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.
(3)存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

試題分析：(1)設橢圓的半焦距為c，由題意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.
又a²＝b²＋c²，因此b＝2.故橢圓的標準方程為＝1.
由題意設等軸雙曲線的標準方程為＝1(m＞0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以m＝2，因此雙曲線的標準方程為＝1.
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，則k₁＝，k₂＝.
因為點P在雙曲線x²－y²＝4上，所以x－y＝4.
因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.
(3)由于PF₁的方程為y＝k₁(x＋2)，將其代入橢圓方程得(2k＋1)x²－8kx＋8k－8＝0，
顯然2k＋1≠0，顯然Δ＞0.由韋達定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
所以|AB|＝
＝.
同理可得|CD|＝.
則，
又k₁·k₂＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
點評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯立方程，同時結合一元二次方程根與系數的關系進行求解；而對于最值問題，則可將該表達式用直線斜率k表示，然后根據題意將其進行化簡結合表達式的形式選取最值的計算方式