Question

在正項等差數列{a_n}中，對任意的n∈N^*都有．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足，其前n項和為S_n，求證；對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定植．

Answer 1

（Ⅰ）解：在正項等差數列{a_n}中，
對任意的n∈N^*都有，
令n=1，得，
∵a₁＞0，
∴a₂=2．
令n=2，得，
即a₁+2=a₃=a₁+2d，
故d=1．
∴a_n=2+（n-2）×1=n．
（Ⅱ）證明：∵a_n=n，=2ⁿ，
∴S_n=2+2²+…+2ⁿ
=
=2ⁿ⁺¹-2．
故S_n-b_n+1=（2ⁿ⁺¹-2）-2ⁿ⁺¹=-2，
∴對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定值-2．
分析：（Ⅰ）在正項等差數列{a_n}中，對任意的n∈N^*都有，令n=1，得a₂=2．令n=2，得d=1．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a_n=n，=2ⁿ，知S_n=2+2²+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．故S_n-b_n+1=（2ⁿ⁺¹-2）-2ⁿ⁺¹=-2，由此能夠證明對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定值-2．
點評：本題考查數列的通項公式的求法和證明對任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均為定值．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．