Question

關于曲線C：（x-m）²+（y-2m）²=

n2

2

，有以下五個結論：
（1）當m=1時，曲線C表示圓心為（1，2），半徑為

2

2

|n|的圓；
（2）當m=0，n=2時，過點（3，3）向曲線C作切線，切點為A，B，則直線AB方程為3x+3y-2=0； 
（3）當m=1，n=

2

時，過點（2，0）向曲線C作切線，則切線方程為y=-

3

4

（x-2）；
（4）當n=m≠0時，曲線C表示圓心在直線y=2x上的圓系，且這些圓的公切線方程為y=x或y=7x；
（5）當n=4，m=0時，直線kx-y+1-2k=0（k∈R）與曲線C表示的圓相離．
以上正確結論的序號為

（2）（4）

．

Answer 1

分析：根據圓的標準方程的概念，可得（1）不正確；根據圓的切點弦所在直線方程形式，可得（2）正確；根據過圓外一點可以作兩條圓的切線，可得（3）不正確；根據圓心的軌跡方程、點到直線的距離公式，結合直線與圓的位置關系得到（4）正確，根據直線當n=4，m=0時，直線kx-y+1-2k=0經過圓C內部一點，可得（5）不正確．

解答：解：對于（1），當m=1時，曲線C：（x-1）²+（y-2）²=

n2

2

，
當n≠0時，表示圓心為（1，2），半徑為

2

2

|n|的圓．
但條件中缺少了n≠0，故（1）不正確；
對于（2），當m=0，n=2時，曲線C：x²+y²=2，表示圓心在原點半徑為

2

的圓
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
∵經過點A的圓的切線為x₁x+y₁y=2，經過點B的圓的切線為x₂x+y₂y=2，
∴由點（3，3）分別在兩條切線上，有3x₁+3y₁=2且3x₂+3y₂=2成立
可得經過A、B的直線方程為3x+3y=2，即3x+3y-2=0．故（2）正確；
對于（3），當m=1，n=

2

時，曲線C：（x-1）²+（y-2）²=1，
表示圓心在原（1，2），半徑為1的圓
過點（2，0）向曲線C作切線，切線方程為y=-

3

4

（x-2）和x=2，
有兩條切線，故（3）不正確；
對于（4），當n=m≠0時，因為圓C的圓C（m，2m）滿足y=2x
且直線x-y=0和y-7x=0都滿足C到直線的距離恰好等于圓的半徑

2

2

|n|
故曲線C表示圓心在直線y=2x上的圓系，且這些圓的公切線方程為y=x或y=7x，得（4）正確；
對于（5），當n=4，m=0時，曲線C：x²+y²=8，表示圓心在原點半徑為2

2

的圓
直線kx-y+1-2k=0經過定點（2，1），恰好為圓內一點
故圓C必定與直線相交，故（5）不正確
故答案為：（2）（4）

點評：本題給出含有參數的圓方程，判斷關于圓方程的幾個結論的正確性．著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．