Question

【題目】設橢圓的左頂點為，右頂點為，已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）記橢圓的右焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．若線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式即可求解.

(2)設直線的方程為，聯立方程組設、

，利用韋達定理，即可得出的中點為，然后，利用線段的垂直平分線與軸交于點，即可求解

解：（1）以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，

直線被圓截的弦長為，解得，

又橢圓的離心率為，所以，

所以，橢圓的方程為

（2）依題意，，直線的方程為．

聯立方程組消去并整理得．

，

設、，故，，

設的中點為，則．

因為線段的垂直平分線與軸交于點，

①當時，那么；

②當時，，即．

解得．

因為，所以，，即．

綜上，的取值范圍為．