Question

(本小題滿分14分)
如右圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，∠PDA=30°，點F是PB的中點，
點E在邊BC上，
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）證明：AF⊥平面PBC；
（Ⅲ）當BE等于何值時,二面角P—DE—A的大小為45°？

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）略
（Ⅲ）當時，二面角P-DE-A的大小為45°。

解法一：
（Ⅰ）解：

………（1分）

∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點 ∴EF∥PC    

………（3分）

又平面PAC，平面PAC ∴EF∥平面PAC       

 
（Ⅱ）證明：∵平面，平面  ∴ ………（4分）

       ∵是矩形 ∴    
又，∴平面PAB, ……（5分）

……（6分）

 又AF平面PAB∴BC⊥AF         

又PA=AB=1，且點F是PB的中點  ∴PB⊥AF ……（7分）       
又∵PB∩BC=B，PB、BC平面PBE

…………（8分）

∴AF⊥平面PBC                  

 

………（9分）

（Ⅲ）解：當時，二面角P-DE-A的大小為45°

過A作AG⊥DE于G，連結PG 
又∵DE⊥PA ∴DE⊥平面PAG  ∴DE⊥PG        

………（11分）

則∠PGA是二面角P-DE-A的平面角 ∴∠PGA=45°   

∵∠PDA=30°

………（12分）

,PA=AB=1，∴ ∴，    

設BE=，則GE=，CE=,在△DCE中，

………（13分）

解得：或（舍去）         

………（14分）

故當時，二面角P-DE-A的大小為45°

解法二：（Ⅰ）與解法一同
（Ⅱ）證明：以A為坐標原點，分別以AD、AB、AP所在直線為軸、軸、軸
建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），

…………………………………（5分）

D（，0，0）            

設，則E（，1，0）
∴（，1，-1）（0，，）=

…………………………………（8分）

∴AF⊥PE                  

（Ⅲ）解：設平面PDE的一個法向量為（，，），
則        又=（，0，-1）=（，1，-1）

………………（10分）

∴    （1，，）

………………（11分）

而平面ADE的一個法向量為（0，0，1）

又二面角P-DE-A的大小為45°

………………（13分）

∴°= 即 

∴ 即 解得或（舍去）

………………（14分）

故當時，二面角P-DE-A的大小為45°。