Question

已知{a_n}是各項均為正數的等差數列，lga₁、lga₂、lga₄成等差數列，又b_n=,n=1,2,3….

(Ⅰ)證明{b_n}為等比數列；

(Ⅱ）如果無窮等比數列{b_n}各項的和S=,求數列{a_n}的首項a₁和公差d.

(注：無窮數列各項的和即當n→∞時數列前n項和的極限)

Answer 1

（Ⅰ）證明：

∵lga₁、lga₂、lga₄成等差數列，        ∴2lga₂=lga₁+lga₄，即a²=a₁?a₄.

等差數列{a_n}的公差為d，則(a₁+d)²=a₁(a₁+3d),

這樣d²=a₁d.從而d(d－a₁)=0.        

(i)若d=0，則{a_n}為常數列，相應{b_n}也是常數列.

此時{b_n}是首項為正數，公式為1的等比數列.    

(ii)若d=a₁≠0，則

=a₁+(2ⁿ－1)d=2ⁿd，b_n=.

這時{b_n}是首項b₁=，公比為的等比數列.綜上知，{b_n}為等比數列.          

（Ⅱ）解：

如果無窮等比數列{b_n}的公比q=1，則當n→∞時其前n項和的極限不存在.

因而d=a₁≠0，這時公比q=，b₁=.

這樣，{b_n}的前n項和S_n=，

則S=S_n==.           

由S=得公差d=3，首項a₁=d=3.