Question

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證：y=f（x）是奇函數；    
（2）求證：函數y=f（x）在R上為減函數．
（3）試問在-3≤x≤3時，f（x）是否有最值？若有求出最值；若沒有，說出理由．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法：先令x=y=0⇒f（0）=0，再令y=-x⇒f（x）+f（-x）=0；
（2）利用單調性的定義：任取x₁＜x₂，⇒f（x₂-x₁）＜0⇒f（x₁）-f（x₂）＞0；
（3）由（2）y=f（x）在R上為減函數，⇒y=f（x）在[-3，3]上為減函數，從而可求得其最大值與最小值．

解答：證明：（1）令x=y=0，則有f（0）=2f（0）⇒f（0）=0．
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
 即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數． …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．⇒f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上為減函數． …（10分）
（3）由（2）y=f（x）在R上為減函數，
∴y=f（x）在[-3，3]上為減函數，f（3）為函數的最小值，f（-3）為函數的最大值． 
又f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函數最大值為6，最小值為-6…（14分）

點評：本題考查抽象函數及其應用，關鍵在于靈活應用（正用與逆用）函數的奇偶性與單調性進行證明與求最值，屬于中檔題．