Question

已知函數 (R)．
(1)當時，求函數的極值；
（2）若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當時, 取得極大值為;
當時, 取得極小值為.
（2）a的取值范圍是．

試題分析：（1）遵循“求導數，求駐點，討論駐點兩側導數值符號，確定極值”.
（2） 根據 = ，得到△= =  .
據此討論：① 若a≥1，則△≤0，
此時≥0在R上恒成立，f（x）在R上單調遞增 .
計算f（0），,得到結論.
② 若a＜1，則△＞0，= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為．
有．  
給出當變化時，的取值情況表.
根據f（x₁）·f（x₂）＞0, 解得a＞．作出結論.
試題解析： （1）當時，，
∴.                    
令="0," 得 .                     2分
當時,, 則在上單調遞增;
當時,, 則在上單調遞減;
當時,, 在上單調遞增.        4分             
∴ 當時, 取得極大值為;
當時, 取得極小值為.        6分
（2） ∵ = ，
∴△= =  .
①若a≥1，則△≤0，                            7分              
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0），,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．      9分  
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為．
∴．  
當變化時，的取值情況如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

                                       11分
∵,
∴.
∴
=

.
同理.
∴


.
令f（x₁）·f（x₂）＞0, 解得a＞．
而當時,,         13分
故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.
綜上所述，a的取值范圍是．                 14分