Question

（本小題滿分12分）等比數列{a_n}中，a_n > 0(n∈N^*)，公比q∈(0,1)，且a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25， a₃與a₅的等比中項為2.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求數列{S_n}的通項公式；

Answer 1

解：(1)∵a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25，∴a₃²＋2a₃a₅＋a₅²＝25，  ∴(a₃＋a₅)²＝25，
又a_n>0，∴a₃＋a₅＝5， 又a₃與a₅的等比中項為2， ∴a₃a₅＝4.
而q∈(0,1)，  ∴a₃>a₅，∴a₃＝4，a₅＝1，  ∴q＝，a₁＝16， ∴a_n＝16×()^n－1＝2^5－n.
(2)∵b_n＝log₂a_n＝5－n，∴b_n＋1－b_n＝－1， b₁＝log₂a₁＝log₂16＝log₂2⁴＝4，
∴{b_n}是以b₁＝4為首項，－1為公差的等差數列， ∴S_n＝.

略