Question

【題目】如圖，在多面體中，梯形與平行四邊形所在平面互相垂直， ，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求 出的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據線線平行得線面平行平面，平面，再根據線面平行得面面平行平面平面，最后由面面平行性質得結論，（Ⅱ）先根據面面垂直得線面垂直平面，再得線線垂直，類似可得進而建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面法向量，利用向量數量積得兩法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系得結果，（Ⅲ）先設，再利用方程組解得平面法向量，最后根據兩法向量數量積為零解得結果.

（Ⅰ）由底面為平行四邊形，知，

又因為平面，平面， 所以平面.

同理平面，又因為，所以平面平面.

又因為平面，所以平面

（Ⅱ）連接,因為平面平面，平面平面，，

所以平面. 則.

又因為，，， 所以平面，則.

故兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，， 所以,，為平面的一個法向量.

設平面的一個法向量為，

由，，得 令，得.

所以.

如圖可得二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）結論：線段上存在點，使得平面平面.

證明如下：設，所以. 設平面的法向量為，又因為，所以，，即 令，得.

若平面平面，則，即， 解得.

所以線段上存在點，使得平面平面，且此時.