Question

（2012•武昌區模擬）平面區域D由以點A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點的三角形內部及邊界組成，若在D上有無窮多個點（x，y）使目標函數z=x+my取得最大值，則m=（　　）

• A．4
• B．-2
• C．-

  1

  2

  或

  1

  4

• D．-2或4

Answer 1

分析：分m＞0和m＜0時兩種情況加以討論，分別將目標函數對應的直線l進行平移，可得它們與邊AB或BC重合時，在D上有無窮多個點（x，y）使目標函數達最大值，由此結合直線斜率公式，不難得到m的值．

解答：解：①當m＞0時，直線l：z=x+my的斜率為負數，
當直線l越向上平移，目標函數z的值越大，
若l與直線AB平行，將它向上平移至與AB重合，目標函數z的達到最大值
此時AB上任意一點坐標代入，都可得到z的最大值
k_AB=

2-3

5-1

=-

1

4

，得-

1

m

=-

1

4

，m=4
∴z=x+4y的最大值為13，線段AB上任意一點坐標都是最優解
②當m＜0時，直線l：z=x+my的斜率為正數，
因為z與直線l在y軸上的截距符號相反，所以當直線l越向下平移，
目標函數z的值越大，
若l與直線BC平行，將它向下平移至與BC重合，目標函數z的達到最大值
此時BC上任意一點坐標代入，都可得到z的最大值
k_BC=

1-2

3-5

=

1

2

，得-

1

m

=

1

2

，m=-2
∴z=x-2y的最大值為1，線段BC上任意一點坐標都是最優解
綜上所述，得m=-2或4
故選D

點評：本題給出平面區域，求使目標函數的最優解有無窮多個時參數m的值，著重考查了直線的斜率和簡單的性質規劃等知識，屬于基礎題．